Question

如图，设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的上顶点为A，左右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，△AB₁B₂是面积为

3

的等边三角形．
（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）设圆心在原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“准圆”．点P是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点P做存在斜率的直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆都C只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直？并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由于△AB₁B₂是面积为

3

的等边三角形，可得b=

3

2

c，

1

2

bc=

3

4

c²=

3

，a=

b2+c2

，解出即可．
（Ⅱ）椭圆C的“准圆”方程为x²+y²=10，设点P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=10．设经过点P（x₀，y₀）与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x-x₀）+y₀，与椭圆方程联立可得（7k²+3）x²-14k（kx₀-y₀）x+7（kx₀-y₀）²-21=0．利用△=0，化简整理得（7-x₀²）k²+2x₀y₀k+3-y₀²=0．利用x₀²+y₀²=10，及其根与系数的关系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵△AB₁B₂是面积为

3

的等边三角形，
∴b=

3

2

c，

1

2

bc=

3

4

c²=

3

，
即c=2，b=

3

． a=

b2+c2

=

7

．
∴椭圆C的离心率e=

2 7

7

，椭圆C的方程为

x2

7

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）椭圆C的“准圆”方程为x²+y²=10，
设点P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=10．
设经过点P（x₀，y₀）与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x-x₀）+y₀
联立

y=k(x-x0)+y0 x2 7 + y2 3 =1

，
消去y，得（7k²+3）x²-14k（kx₀-y₀）x+7（kx₀-y₀）²-21=0．
由△=0，化简整理得（7-x₀²）k²+2x₀y₀k+3-y₀²=0．
∵x₀²+y₀²=10，
∴k₁，k₂满足方程（7-x₀²）k²+2x₀y₀k+x₀²-7=0，
设直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，
∵直线l₁，l₂与椭圆C只有一个交点．
∴k₁•k₂=-1，即直线l₁与l₂垂直．

点评：本题考查了椭圆及圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交相切问题转化为方程联立可得判别式△=0及其根与系数的关系、直线相互垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．