Question

给出下列命题：
（1）空间中点P的柱坐标为(2，

π

6

，1)，则点P的直角坐标为(1，

3

，1)；
（2）若曲线

x2

4+k

+

y2

1-k

=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞）∪（-∞，-4）；
（3）已知A（-5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-

4

9

，则点M的轨迹方程为

x2

25

+

9y2

100

=1；
（4）已知双曲线方程为x²-

y2

2

=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答： 解：（1）空间中点P的柱坐标为(2，

π

6

，1)，则x=2cos

π

6

=

3

，y=2sin

π

6

=1，z=1，故不正确；
（2）曲线

x2

4+k

+

y2

1-k

=1表示双曲线，则（4+k）（1-k）＜0，∴k的取值范围是（1，+∞）∪（-∞，-4），正确；
（3）已知A（-5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-

4

9

，则点M的轨迹方程为

x2

25

+

9y2

100

=1（x≠±5），故不正确；
（4）设过点P（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
①当k存在时，联立得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0，当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

又方程的两个不同的根是两交点A、B的横坐标，P是线段AB的中点，∴x₁+x₂=2，∴k=2 
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程无实数解
故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在．
当x=1时，直线经过点P但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在 
故答案为：（2）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．