Question

函数y=f（x）为定义在R上的增函数，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．当a＞0时，求满足不等式f（ax²+2）+f（（-2a-1）x）＜0的x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），变形可得f（0）=0，再令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），由此可得函数为奇函数，
由f（x）的奇偶性与单调性，可将原不等式变形解得x的取值范围．

解答： 解：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），则f（0）=0，
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x），可证得f（x）为奇函数；
因为f（x）在R上时增函数，又f（x）是奇函数，
∴不等式f（ax²+2）+f（（-2a-1）x）＜0可化为：f（ax²+2）＜-f（（-2a-1）x）=f（（2a+1）x），
即ax²+2＜（2a+1）x，
∴ax²-（2a+1）x+2＜0，
由于a＞0，且方程ax²-（2a+1）x+2=0的两根为x=2或x=

1

a

，
∴当

1

a

＜2，即a＞

1

2

时，ax²-（2a+1）x+2＜0的解集为（

1

a

，2）；
当

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

时，ax²-（2a+1）x+2＜0的解集为（2，

1

a

）；

点评：本题考查函数的恒成立问题与抽象函数的应用，关键是用赋值法求出f（0），进而来判断函数的奇偶性．