Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=1，（a_n-3）a_n+1-a_n+4=0（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的递推公式依次求出a₂，a₃，a₄；
（2）根据a₂，a₃，a₄值的结构特点猜想{a_n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立

解答 解：（1）令n=1，-2a₂+3=0，a₂=$\frac{3}{2}$，
令n=2，-$\frac{3}{2}$a₃-$\frac{3}{2}$+4=0，a₃=$\frac{5}{3}$，
令n=3，-$\frac{4}{3}$a₄-$\frac{5}{3}$+4=0，a₄=$\frac{7}{4}$．                     
（2）猜想a_n=$\frac{2n-1}{n}$（n∈N^*）．                              
证明：当n=1时，a₁=1=$\frac{2-1}{1}$，所以a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立，
假设当n=k时，a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立，即a_k=$\frac{2k-1}{k}$，
则（a_k-3）a_k+1-a_k+4=0，即（$\frac{2k-1}{k}$-3）a_k+1-$\frac{2k-1}{k}$+4=0，
所以$\frac{k+1}{k}$a_k+1=$\frac{2k+1}{k}$，即a_k+1=$\frac{2k+1}{k+1}$=$\frac{2（k+1）-1}{k+1}$，
所以当n=k+1时，结论a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立．
综上，对任意的n∈N^*，a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立．

点评 本题考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式，属于中档题．