Question

9．已知A（4，0）、B（0，5）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的两个顶点，C是椭圆上处于第一象限内的点，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． 10（$\sqrt{3}$-1）
• B． 10（$\sqrt{2}$+1）
• C． 10（$\sqrt{2}$-1）
• D． 10（$\sqrt{3}$+1）

Answer 1

分析 由已知条件求出直线AB的方程5x+4y-20=0，求出|AB|，设C（4cosα，5sinα），0＜α＜$\frac{π}{2}$，点C到直线AB的距离d，表示三角形的面积，求出△ABC的面积的最大值．

解答 解：直线AB的方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1$，整理，得：5x+4y-20=0，
|AB|=$\sqrt{16+25}$=$\sqrt{41}$，
∵C椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1上第一象限上的一点，
∴设C（4cosα，5sinα），0＜α＜$\frac{π}{2}$，
点C到直线AB的距离d=$\frac{|20cosα+20sinα-20|}{\sqrt{41}}$=$\frac{|20\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）-20|}{\sqrt{41}}$，
∴当α=$\frac{π}{4}$时，d_max=$\frac{|20\sqrt{2}-20|}{\sqrt{41}}$，
∴△ABC的面积的最大值：
S_max=$\frac{1}{2}$|AB|•d_max
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{41}$×$\frac{|20\sqrt{2}-20|}{\sqrt{41}}$=10$\sqrt{2}$-10．
故选：C．

点评 本题考查三角形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．