Question

4．已知函数f（log₂x）=x-$\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的表达式；
（2）不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用换元法求解函数的解析式．
（2）利用分解因式，化简不等式，求出m的范围即可．

解答 解：（1）函数$f（{log_2}x）=x-\frac{1}{x}$，令t=log₂x，解得x=2^t，$f（t）={2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}$
∴$f（x）={2^x}-\frac{1}{2^x}$…（5分）
（2）不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0，即${2^t}（{2^{2t}}-\frac{1}{{{2^{2t}}}}）+m（{2^t}-\frac{1}{2^t}）≥o$．
即${2^t}（{2^t}+\frac{1}{2^t}）（{2^t}-\frac{1}{2^t}）+m（{2^t}-\frac{1}{2^t}）≥0$，
∵$t∈[1，2]，{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}＞0$．
t∈[1，2]，2^2t∈[4，16]．
∴m≥-（2^2t+1）
m≥-5．…（12分）

点评 本题考查函数的恒成立，不等式的解法，考查转化思想的应用，是中档题．