Question

已知

a

，

b

，

c

是单位向量，

a

⊥

b

，则（

a

+

b

+2

c

）•

c

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：建系，可得

a

=（1，0），

b

=（0，1），并设

c

=（cosθ，sinθ），可得

a

+

b

+2

c

的坐标，由数量积的运算可得（

a

+

b

+2

c

）•

c

的表达式，由三角函数的知识可得．

解答： 解：由题意，分别以向量

a

，

b

作为x、y轴的单位向量建立直角坐标系，
则可得

a

=（1，0），

b

=（0，1），并设

c

=（cosθ，sinθ），
则可得

a

+

b

+2

c

=（1+2cosθ，1+2sinθ），
∴（

a

+

b

+2

c

）•

c

=（1+2cosθ）cosθ+（1+2sinθ）sinθ
=cosθ+2cos²θ+sinθ+2sin²θ=cosθ+sinθ+2
=

2

sin（θ+

π

4

）+2，
由三角函数的知识可知，当θ=

π

4

时，上式取最大值

2

+2
故答案为：

2

+2

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角函数的应用，属中档题．