Question

4．求y=x²（2-x）（0＜x＜2）最大值．

Answer 1

分析 根据三元基本不等式a+b+c≥3$\root{3}{abc}$（a，b，c＞0，a=b=c取得等号），由y=x²（2-x）=$\frac{1}{2}$•x•x•（4-2x），计算即可得到所求最大值．

解答 解：由0＜x＜2，可得2-x＞0，
则y=x²（2-x）=$\frac{1}{2}$•x•x•（4-2x）
≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{x+x+4-2x}{3}$）³=$\frac{1}{2}$•$\frac{64}{27}$=$\frac{32}{27}$．
当且仅当x=4-2x，即x=$\frac{4}{3}$时，
取得最大值$\frac{32}{27}$．

点评 本题考查函数最值的求法，注意运用变形和三元均值不等式，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．