Question

9．已知Rt△ABC的斜边AB=2，则其内切圆的半径r的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． [1，$\sqrt{2}$]
• C． （0，$\sqrt{2}$-1]
• D． [1，$\sqrt{2}$-1]

Answer 1

分析 由题意和勾股定理列出方程，利用完全平方公式表示出a+b，利用面积相等求出内切圆的半径r，根据换元法和基本不等式求出r的取值范围．

解答 解：设AC=b、BC=a，且AB=2，C=90°，
∴a²+b²=4，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=4+2ab，
则a+b=$\sqrt{4+2ab}$，
由$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}（a+b+2）r$得，r=$\frac{ab}{a+b+2}$，
∴r=$\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}$，
设t=$\sqrt{4+2ab}$，则ab=$\frac{{t}^{2}-4}{2}$，
由a²+b²=4且a²+b²≥2ab得，0＜ab≤2，当且仅当a=b时取等号，
∴4＜4+2ab≤8，则2 $＜\sqrt{4+2ab}≤2\sqrt{2}$，即t$∈（2，2\sqrt{2}]$，
代入r=$\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}$得，y=$\frac{\frac{{t}^{2}-4}{2}}{t+2}$=$\frac{1}{2}（t-2）$，
∵t$∈（2，2\sqrt{2}]$，∴$0＜\frac{1}{2}（t-2）≤\sqrt{2}-1$，
∴其内切圆的半径r的取值范围（0，$\sqrt{2}-1$]，
故选：C．

点评 本题考查了三角形内切圆的问题，基本不等式在最值问题中的应用，以及换元法、等面积法，考查化简、变形能力．