Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：x²+y²-6x+4y+9=0，圆C₂：（x+m）²+（y+m+5）²=2m²+8m+10（m∈R，且m≠-3）．
（Ⅰ）若m=5时，试求圆C₁与圆C₂的交点个数；
（Ⅱ）设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C₁与圆C₂的一条切线，切点分别为T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，试求出所有满足条件的点P的坐标；
（Ⅲ）若斜率为k的直线l平分圆C₁，且满足直线l与圆C₂总相交，求直线l斜率k的范围．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：直线与圆

分析：（1）若m=5时，求得两个圆的圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得两圆相交，从而得到交点个数为2个．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），圆C₁与圆C₂的半径分别为r₁、r₂，由题意得PC12-r12=PC22-r22，化简得x₀+y₀+1=0，根据P为坐标轴上的点，求得点P的坐标．
（3）设直线l的方程为：y+2=k（x-3），根据圆心C₂（-m，-m-5）到直线l的距离小于圆C₂的半径，化简可得

|k-1|

k2+1

＜

2m2+8m+10 (m+3)2

．记y=

2m2+8m+10

(m+3)2

，求得y的最小值为1，可得 

|k-1|

k2+1

＜1，从而求得k的范围．

解答： 解：（1）若m=5时，圆C₁即：（x-3）²+（y+2）² =4，圆C₂：（x+5）²+（y+10）²=100，圆心距C1C2=8

2

∈(8，12)，
∴两圆相交，交点个数为2个．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），圆C₁与圆C₂的半径分别为r₁、r₂，由题意得PC12-r12=PC22-r22，
即 [(x0-3)2+(y0+2)2]-4=[(x0+m)2+(y0+m+5)2]-(2m2+8m+10)，化简得x₀+y₀+1=0，
因为P为坐标轴上的点，所以点P的坐标为（0，-1）或（-1，0）．
（3）依题意可知，直线l经过点C₁ （3，-2），设直线l的方程为：y+2=k（x-3），化简得kx-y-3k-2=0，
则圆心C₂（-m，-m-5）到直线l的距离为

|k-1|•|m+3|

k2+1

，又圆C₂的半径为

2m2+8m+10

，
所以，“直线l与圆C₂总相交”等价于“?m∈R，且m≠-3，

|k-1|•|m+3|

k2+1

＜

2m2+8m+10

，即

|k-1|

k2+1

＜

2m2+8m+10 (m+3)2

①”．
记y=

2m2+8m+10

(m+3)2

，整理得（y-2）m²+2（3y-4）m+9y-10=0，
当y=2时，m=-2；
当y≠2时，判别式△=[2（3y-4）]²-4（y-2）（9y-10）≥0，解得y≥1．
综上得y=

2m2+8m+10

(m+3)2

，m≠-3的最小值为1，
所以，①式等价于

|k-1|

k2+1

＜1，等价于k＞0．

点评：本题主要考查圆和圆的位置关系的判定，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．