题目内容
如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，试用向量的方法：（1）求证：D1F⊥平面ADE；
（2）求CB1与平面ADE所成的角的余弦值．
考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）首先建立空间直角坐标系，利用向量的数量积来解决线面垂直
（2）通过引入法向量，来求线面的夹角．
（2）通过引入法向量，来求线面的夹角．
解答：
解：（1）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由于正方体的边长为2，则：
=（0，1，-2），
=（2，0，0），
=（2，2，1）
由于
•
=0，
•
=0
所以：D1F⊥DA，D1F⊥DE
又DA∩DE=D
D1F⊥平面ADE
（2）
=(2，0，2)
由（1）知平面ADE的法向量
=
=(0，1，-2)
cos＜
，
＞=
=-
设CB1与平面ADE所成的角为θ，
所以：sinθ=
，cosθ=
∴CB1与平面ADE所成的角的余弦值为
解：（1）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由于正方体的边长为2，则：
| D1F |
| DA |
| DE |
由于
| D1F |
| DA |
| D1F |
| DE |
所以：D1F⊥DA，D1F⊥DE
又DA∩DE=D
D1F⊥平面ADE
（2）
| CB1 |
由（1）知平面ADE的法向量
| n |
| D1F |
cos＜
| CB1 |
| n |
| -4 | ||||
|
| ||
| 5 |
设CB1与平面ADE所成的角为θ，
所以：sinθ=
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
∴CB1与平面ADE所成的角的余弦值为
| ||
| 5 |
点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的垂直问题，线面垂直的判定定理，法向量的应用，线面的夹角公式．
练习册系列答案
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