Question

已知圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=25，A（3，4）为定点，过A的两条弦MN、PQ互相垂直，记四边形MPNQ面积的最大值与最小值分别为S₁，S₂，则

S

2 1

-

S

2 2

是（　　）

• A、200
• B、100
• C、64
• D、36

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,数形结合,直线与圆

分析：画出图形，先确定MN²+PQ²为定值，表示出面积，即可求四边形ABCD的面积的最大值和最小值．

解答： 解：圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=25，
圆心坐标C（2，1），半径R=5
设弦MN，PQ的中点分别为E，F，
则CE²+CF²=CA²=（3-2）²+（4-1）²=10，
CE²+NE²=CF²+QF²=25，
NE²+QF²=（25-CE²）+（25-CF²）=50-（CE²+CF²）=40，
MN²+PQ²=4（NE²+QF²）=160
∴S²=

1

4

MN²×PQ²=

1

4

MN²×（160-MN²），
MN²∈[60，100]．
当MN²=80时，S²取得最大值：S₁²=1600．
当MN²=60时，S²取得最小值：S₂²=1500．
则

S

2 1

-

S

2 2

=1600-1500=100
故选：B．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查面积的计算，最值的应用，考查数形结合以及转化思想．