Question

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义域在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）解不等式f（x-1）＜-f（x）．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数性质可得f（0）=0，及f(

1

2

)=

2

5

可得方程组，解出即可；
（2）利用导数可作出判断证明；
（3）利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式可解，注意定义域；

解答： 解：（1）∵函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

，
∴

a×0+b 1+02 =0 1 2 a+b 1+( 1 2 )2 = 2 5

，解得a=1，b=0．
∴f（x）=

x

1+x2

．
（2）f（x）在（-1，1）上是增函数，证明如下：
由（1）知f（x）=

x

1+x2

（-1＜x＜1），
f'（x）=

(1+x2)-x•2x

(1+x2)2

=

1-x2

(1+x2)2

，
∵-1＜x＜1，∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上单调递增．
（3）∵f（x）=

x

1+x2

在（-1，1）是增函数，且f（x）是奇函数，
∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
∴-1＜x-1＜-x＜1，解得0＜x＜

1

2

．
∴f（x-1）＜-f（x）的解集为{x|0＜x＜

1

2

}．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力．