Question

已知

m

=（2cos（x+

π

2

），cosx），

n

=（cosx，2sin（x+

π

2

）），且函数f（x）=

m

•

n

+1
（1）设方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x₁，x₂，求x₁+x₂的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再向下平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的单调增区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式，两角和的三角公式，求出x₁ =

π

4

，x₂=

π

2

，可得x₁+x₂的值．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的单调增区间．

解答： 解：（1）由题设知f（x）=

m

•

n

+1=-2sinxcosx+2cos²x+1=-sin2x+cos2x+2=

2

cos（2x+

π

4

）+2．
由程f（x）-1=0求得cos（2x+

π

4

）=-

2

2

，∴2x+

π

4

=2kπ+

3π

4

，或2x+

π

4

=2kπ+

5π

4

，k∈z．
∴x=kπ+

π

4

，或 x=kπ+

π

2

．
∵点x₁，x₂ ∈（0，π），∴x₁ =

π

4

，x₂=

π

2

，∴点x₁+x₂=

3π

4

．
（2）把函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=

2

cos[2（x+

π

6

）+

π

4

]+2=

2

cos（2x+

7π

12

）+2=-

2

sin（2x+

π

12

）+2的图象；
  再向下平移2个单位，得函数g（x）=-

2

sin（2x+

π

12

）的图象图象，
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

12

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

5π

24

≤x≤kπ+

17π

24

，k∈z，可得g（x）的增区间为[kπ+

5π

24

，kπ+

17π

24

]，k∈z．
再结合x∈[-

π

2

，

π

2

]，可得函数g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的单调增区间为[-

π

2

，-

7π

24

]、[

5π

24

，

π

2

]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和的三角公式，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．