Question

双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=

1

2

x，其右焦点到该直线的距离等于

5

；点P是圆x²+y²=a²上的动点，作PD⊥x轴于D，且

DE

=

3

2

DP

．
（1）求点E的轨迹C₂的方程
（2）已知P（0，-

1

2

），是否存在直线y=kx+m与轨迹C₂，相交于不同的两点M，N，且|PM|=|PN|，若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

b a = 1 2 |c| 5 = 5 c2=a2+b2

，解得a=2

5

，b=

5

，从而P（2

5

cosθ，2

5

sinθ），0≤θ＜2π，进而E（2

5

cosθ，

15

sinθ），由此能求出点E的轨迹C₂的方程．
（2）联立

y=kx+m x2 20 + y2 15 =1

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-60=0，由△＞0，得m²＜20k²+15．当k≠0时，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点Q（x₀，y₀），k_PQ=-

6m+4k2+3

-8km

，由|PM|=|PN|，得2m=4k²+3，由此求出0＜m＜10．当k=0时，m²＜20k²+15=15，由此求出实数m的取值范围是（-

15

，

15

）．

解答： 解：（1）∵双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=

1

2

x，
其右焦点到该直线的距离等于

5

，
∴

b a = 1 2 |c| 5 = 5 c2=a2+b2

，解得a=2

5

，b=

5

，c=5，
∵点P是圆x²+y²=a²=20上的动点，
∴P（2

5

cosθ，2

5

sinθ），0≤θ＜2π，
∵作PD⊥x轴于D，且

DE

=

3

2

DP

，
∴D（2

5

cosθ，0），

DE

=

3

2

（0，2

5

sinθ）=（0，

15

sinθ），
∴E（2

5

cosθ，

15

sinθ），
∴点E的参数方程是

x=2 5 cosθ y= 15 sinθ

，
∴点E的轨迹C₂的方程为

x2

20

+

y2

15

=1．
（2）联立

y=kx+m x2 20 + y2 15 =1

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-60=0，
∵直线y=kx+m与轨迹C₂相交于不同的两点M，N，
∴△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-60）＞0，m²＜20k²+15，①
（i）当k≠0时，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点Q（x₀，y₀），
x0=

x1+x2

2

=-

4km

4k2+3

，y₀=kx₀+m=

3m

4k2+3

，
∵P（0，-

1

2

），∴k_PQ=

3m 4k2+3 + 1 2

- 4km 4k2+3

=-

6m+4k2+3

-8km

，
∵|PM|=|PN|，∴PQ⊥MN，
∴k_PQ•k=-1，∴-

6m+4k2+3

-8km

=-

1

k

，
2m=4k²+3，②
由①②，得0＜m＜10．
（ii）当k=0时，|PM|=|PN|，∴PQ⊥MN，
m²＜20k²+15=15，解得-

15

＜m＜

15

．
∴当k≠0时，实数m的取值范围是（0，10）；当k=0时，实数m的取值范围是（-

15

，

15

）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意圆的参数方程、椭圆性质、韦达定理的合理运用．