Question

已知全集U=R，集合A={x|（x-2）（x-3）＜0}，函数y=lg

x-(a2+2)

a-x

的定义域为集合B．
（1）若a=

1

2

，求集合A∩（∁_UB）
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把a=

1

2

代入化简集合AB，再取交集；
（2）由q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A⊆B，化简集合，列出不等式解a得范围．

解答： 解：（1）因为集合A={x|2＜x＜3}，因为a=

1

2

函数y=lg

x- 9 4

1 2 -x

，由

x- 9 4

1 2 -x

＞0，
可得集合B={x|

1

2

＜x＜

9

4

}
C_UB={x|x≤

1

2

或x≥

9

4

}
故A∩（C_UB）={x|

9

4

≤x＜3}．
（2）因为q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A⊆B
由A={x|2＜x＜3}，而集合B应满足

x-(a2+2)

a-x

＞0，
因为a²+2-a=（a-

1

2

）²+

7

4

＞0
故B={x|a＜x＜a²+2}，
依题意就有：

a≤2 a2+2≥3

，
即a≤-1或1≤a≤2
所以实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[1，2]．

点评：本题主要考查集合的化简与运算，注意集合之间的关系是解题的关键，属于基础题．