Question

5．设动点P到定点F（0，$\frac{1}{4}$）的距离与它到直线y=-$\frac{1}{4}$的距离相等，
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过（-2，0）的直线l与轨迹C交于M，N两点，又过M，N作轨迹C的切线l₁，l₂，当l₁⊥l₂时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）P到定点F（0，$\frac{1}{4}$）的距离与它到直线y=-$\frac{1}{4}$的距离，曲线C是以原点为顶点，F为焦点的抛物线，即可求动点P的轨迹C的方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），因为y′=2x，故两切线的斜率分别为2x₁、2x₂．由方程组得x²-kx-2k=0，然后由根与系数的关系能够导出直线l的方程．

解答 解：（1）依题意，P到定点F（0，$\frac{1}{4}$）的距离与它到直线y=-$\frac{1}{4}$的距离，
曲线C是以原点为顶点，F为焦点的抛
物线，p=$\frac{1}{2}$…..（2分）
曲线C方程是x²=y…..（4分）
（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=k（x+2）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
因为y′=2x，故两切线的斜率分别为2x₁、2x₂．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=y}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$
得x²-kx-2k=0，
x₁+x₂=k，x₁x₂=-2k．
当l₁⊥l₂时，4x₁x₂=-1，所以k=$\frac{1}{8}$．
所以，直线l的方程是y=$\frac{1}{8}$（x+2）．　…（14分）

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意挖掘隐含条件，根据实际情况注意公式的灵活运用．