Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，F、F₁分别是AC、A₁C₁的中点．
（1）求证：平面AB₁F₁∥平面C₁BF；
（2）求证：平面AB₁F₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用面面平行的判定定理只要证明B₁F₁∥BF，AF₁∥C₁F，即可证明；
（2）利用线面、面面垂直的判定定理只要证明B₁F₁⊥平面ACC₁A₁，即可证明．

解答： （1）证明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵F、F₁分别是AC、A₁C₁的中点，
∴B₁F₁∥BF，AF₁∥C₁F，
又∵B₁F₁∩AF₁，BF∩C₁F
∴平面AB₁F₁∥平面C₁BF；
（2）∵F₁是A₁C₁的中点．△A₁B₁C₁是等边三角形，
∴B₁F₁⊥A₁C₁，面A₁B₁C₁，
又AA₁⊥平面A₁B₁C₁，又B₁F₁?平面A₁B₁C₁
∴AA₁⊥B₁F₁，
∴B₁F₁⊥平面ACC₁A₁．
∴平面AB₁F₁⊥平面ACC₁A₁．

点评：本题考查了三棱柱中的面面平行以及面面垂直的证明；关键是明确三棱柱的性质，将面面关系，转化为线面关系和线线关系解答．