Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用,立体几何

分析：（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据

BE

•

DC

=0，可得BE⊥DC；
（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量

BF

的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F-AB-P的余弦值．

解答： 证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴

BE

=（0，1，1），

DC

=（2，0，0）
∵

BE

•

DC

=0，
∴BE⊥DC；
（Ⅱ）∵

BD

=（-1，2，0），

PB

=（1，0，-2），
设平面PBD的法向量

m

=（x，y，z），
由

m • BD =0 m • PB =0

，得

-x+2y=0 x-2z=0

，
令y=1，则

m

=（2，1，1），
则直线BE与平面PBD所成角θ满足：
sinθ=

m • BE

| m |•| BE |

=

2

6 × 2

=

3

3

，
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为

3

3

．
（Ⅲ）∵

BC

=（1，2，0），

CP

=（-2，-2，2），

AC

=（2，2，0），
由F点在棱PC上，设

CF

=λ

CP

=（-2λ，-2λ，2λ）（0≤λ≤1），
故

BF

=

BC

+

CF

=（1-2λ，2-2λ，2λ）（0≤λ≤1），
由BF⊥AC，得

BF

•

AC

=2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，
解得λ=

3

4

，
即

BF

=（-

1

2

，

1

2

，

3

2

），
设平面FBA的法向量为

n

=（a，b，c），
由

n • AB =0 n • BF =0

，得

a=0 - 1 2 a+ 1 2 b+ 3 2 c=0

令c=1，则

n

=（0，-3，1），
取平面ABP的法向量

i

=（0，1，0），
则二面角F-AB-P的平面角α满足：
cosα=

| i • n |

| i |•| n |

=

3

10

=

3 10

10

，
故二面角F-AB-P的余弦值为：

3 10

10

点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．