Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a-b=bcosC．
（1）求证：sinC=tanB；
（2）若a=1，C为锐角，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，代入即可求得cosBsinC=sinB，即可证明sinC=tanB；
（2）由余弦定理c²=（b+1）²-2，由C为锐角，0＜cosC＜1，则$\frac{1}{2}$＜b＜1，根据函数的单调性即可求得c的取值范围．

解答 解：（1）证明：由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，（R为外接圆半径），
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
a-b=bcosC．则sinA-sinB=sinBcosC，
由A=π-（A+B），sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
sinBcosC+cosBsinC-sinB=sinBcosC，
cosBsinC=sinB，tanB=$\frac{sinB}{cosB}$，
∴sinC=tanB；
（2）由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-2a（a-b）=b²+2b-1=（b+1）²-2，
由a-b=bcosC．则b=$\frac{a}{1+sinC}$=$\frac{1}{1+sinC}$，
由C为锐角，0＜cosC＜1，则$\frac{1}{2}$＜b＜1，
由f（b）=（b+1）²-2，在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递增，
f（b）∈（$\frac{1}{4}$，2），
∴$\frac{1}{2}$＜c＜$\sqrt{2}$，
∴c的取值范围（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查二次函数的性质，两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题．