Question

14．已知函数f（x）=|sinx|•cosx，则下列说法正确的是（　　）

• A． f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称
• B． f（x）在区间上[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]单调递减
• C． 若|f（x₁）|=|f（x₂）|，则x₁=x₂+2kπ（k∈Z）
• D． f（x）的周期为π

Answer 1

分析 化简函数f（x），根据正弦函数的图象与性质，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．

解答 解：函数f（x）=|sinx|•cosx
=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}sin2x，x∈[2kπ.2kπ+π]}\\{-\frac{1}{2}sin2x，x∈（2kπ-π，2kπ），k∈Z}\end{array}\right.$，
∴f（x）的图象关于直线x=kπ，k∈Z对称，A错误；
x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时，2x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，f（x）是单调减函数，B正确；
|f（x₁）|=|f（x₂）|时，$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴x₁+x₂=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
∴x₁=$\frac{π}{2}$-x₂+kπ，k∈Z，C错误；
画出函数f（x）的图象，如图所示，
∴f（x）的最小正周期为2π，∴D错误．
故选：B．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．