Question

已知函数f（x）=x²-mx+m-1．
（1）当x∈[2，4]时，f（x）≥-1恒成立，求实数m的取值范围；
（2）是否存在整数a，b（a＜b），使得关于x的不等式a≤f（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=x²-mx+m-1=(x-

m

2

)2-

m2

4

+m-1．对

m

2

与2，4的关系分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出；
（2）假设存在整数a，b（a＜b），使得关于x的不等式a≤f（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}．即a≤x²-mx+m-1≤b的解集为{x|a≤x≤b}．可得f（a）=a，f（b）=b．即x²-mx+m-1=x的两个实数根为a，b．即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²-mx+m-1=(x-

m

2

)2-

m2

4

+m-1．
①当

m

2

≤2，即m≤4时，函数f（x）在x∈[2，4]单调递增，
∵f（x）≥-1恒成立，∴f（2）=-m+3≥-1，解得m≤4．
∴m≤4满足条件．
②当

m

2

≥4，即m≥8时，函数f（x）在x∈[2，4]单调递减，
∵f（x）≥-1恒成立，∴f（4）=-3m+15≥-1，解得m≤

16

3

．
∴不满足m≥8，应该舍去．
③当2＜

m

2

＜4，即4＜m＜8时，当x=

m

2

时，函数f（x）取得最小值，
∵f（x）≥-1恒成立，∴f（

m

2

）=-

m2

4

+m-1≥-1，解得0≤m≤4，不满足4＜m＜8，应舍去．
综上可得：实数m的取值范围是（-∞，4]．
（2）假设存在整数a，b（a＜b），使得关于x的不等式a≤f（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}．
即a≤x²-mx+m-1≤b的解集为{x|a≤x≤b}．则f（a）=a，f（b）=b．
∴x²-mx+m-1=x的两个实数根为a，b．
∴a+b=m+1，ab=m-1．
当b=1时，a不存在，舍去；
当b≠1时，a=1-

1

b-1

，只有b=2或0时，可得a=0，2．
又a＜b，
∴存在整数

a=0 b=2

时，使得关于x的不等式a≤f（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}．

点评：本题考查了二次函数的单调性、“三个二次”的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．