Question

19．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点A（2，0），O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且OA⊥OB，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题知：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=2，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）①当直线l的斜率不存在时，点A、B共线，不合题意．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆C方程联立可得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=0，把根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（1）由题知：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=2，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）解：①当直线l的斜率不存在时，点A、B共线，不合题意．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
与椭圆C方程联立可得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．
∵直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，
∴△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，解得k²$＞\frac{3}{4}$．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=0，
∴x₁•x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，即（1+k²）x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴$\frac{12（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+4=0，
整理得k²=4，
解得k=±2，满足①．
∴直线l的方程为y=±2x+2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．