Question

11．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA，tanB是关于x的方程x²+（1+p）x+p+2=0的两个根，c=4．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知可得tanA+tanB=-1-p，tanA•tanB=p+2，利用两角和的正切函数公式可求tan（A+B）=1，可求A+B=$\frac{π}{4}$，利用三角形内角和定理可求C的值．
（2）由已知及余弦定理可求16-$\sqrt{2}ab$=a²+b²，结合基本不等式可得ab≤$\frac{16}{2+\sqrt{2}}$，当且仅当a=b时取等号，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵tanA，tanB是关于x的方程x²+（1+p）x+p+2=0的两个根，
∴tanA+tanB=-1-p，tanA•tanB=p+2，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{-1-p}{1-（p+2）}$=1，
∴在△ABC中，A+B=$\frac{π}{4}$，
∴C=$\frac{3π}{4}$．
（2）∵C=$\frac{3π}{4}$，c=4，c²=a²+b²-2abcosC，
∴4²=a²+b²-2ab×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），整理可得：16-$\sqrt{2}ab$=a²+b²，
又∵a＞0，b＞0，
∴16-$\sqrt{2}ab$=a²+b²≥2ab，可得：ab≤$\frac{16}{2+\sqrt{2}}$，当且仅当a=b时取等号，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$ab×$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{1}{2}×$$\frac{16}{2+\sqrt{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$-4，
∴△ABC的面积的取值范围为（0，4$\sqrt{2}$-4）．

点评 本题主要考查了韦达定理，两角和的正切函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．