Question

12．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：x²+y²-8y+15=0截得的弦长为$\sqrt{2}$，则双曲线的离心率为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆M：x²+y²-8y+15=0截得的弦长为$\sqrt{2}$，可得$\frac{|0-4a|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：圆M：x²+y²-8y+15=0，可化为x²+（y-4）²=1．圆心（0，4），半径为1．
依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx-ay=0，
∵弦长为$\sqrt{2}$，圆的半径为1，
由弦长的一半、半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，
则圆心到渐近线的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{|0-4a|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即b²=31a²，
∴c²=b²+a²=32a²，
∴双曲线的离心率为e²=32，
∴双曲线的离心率为e=4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆中弦长的一半、半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，求得圆心到渐近线的距离．