Question

曲线y=alnx（a＞0）在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，得到曲线在x=1处的切线的斜率，由直线方程的点斜式得到切线方程，求出切线在两坐标轴上的截距，由切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4列式求得a的值．

解答： 解：由y=alnx，得y′=

a

x

，
∴y′|_x=1=a，
又x=1时，y=0，
∴曲线y=alnx（a＞0）在x=1处的切线方程为：y=ax-a．
当x=0时，y=-a．当y=0时，x=1．
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

1

2

×1×a=4．
解得：a=8．
故答案为：8．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查直线方程的点斜式，训练了三角形面积的求法，是中档题．