Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}（x+1）+x-1（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{4}）^{x+1}+3（x≤0）}\end{array}\right.$，若f（x）的两个零点分别为x₁，x₂，则|x₁-x₂|=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}$+ln2

Answer 1

分析 由题意分别讨论两段函数的零点，转化为两个函数图象交点的横坐标，然后结合互为反函数图象的对称性及图象平移求解．

解答 解：当x＞0时，f（x）=log₄（x+1）+x-1，
由f（x）=0，可得x-1=$-lo{g}_{4}（x+1）=lo{g}_{\frac{1}{4}}（x+1）$；
当x≤0时，f（x）=x-$（\frac{1}{4}）^{x+1}$+3，
由f（x）=0，可得$（\frac{1}{4}）^{x+1}=x+3$．
作出函数图象如图：
∵函数y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$与y=$（\frac{1}{4}）^{x}$互为反函数，则其图象关于直线y=x对称，
而$y=lo{g}_{\frac{1}{4}}（x+1）$与$y=（\frac{1}{4}）^{x+1}$分别是把y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$与y=$（\frac{1}{4}）^{x}$向左平移1个单位得到的，
∴两函数图象关于直线y=x+1对称，
又直线y=x-1与y=x+3也关于直线y=x+1对称，
不妨设y=x+3（x≤0）与y=$（\frac{1}{4}）^{x+1}$的交点的横坐标为x₁，y=x-1（x＞0）与y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}（x+1）$的交点的横坐标为x₂，
则|x₁-x₂|=$\frac{|AB|}{2}=\frac{4}{2}=2$．
故选：C．

点评 本题考查分段函数的应用，考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．