Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+

π

6

）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）若f（α）=

2

3

，α∈（0，

π

8

），求cos2α的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）直接利用正弦型函数的周期关系式求出结论．
（2）利用（1）所确定的函数关系式进一步对关系式中的角进行恒等变换，利用三角函数的诱导公式求出结果．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+

π

6

）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，
由

2π

ω

=π得ω=2；
（2）解法1：由f(α)=2sin(2α+

π

6

)=

2

3

得sin(2α+

π

6

)=

1

3

∵α∈(0，

π

8

)，∴2α+

π

6

∈(

π

6

，

5π

12

)，
∴cos(2α+

π

6

)=

1-sin2(2α+ π 6 )

=

2 2

3

∴cos2α=cos[(2α+

π

6

)-

π

6

]
=cos(2α+

π

6

)cos

π

6

+sin(2α+

π

6

)sin

π

6

=

2 2

3

•

3

2

+

1

3

•

1

2

=

2 6 +1

6

[解法2]：由f(α)=2sin(2α+

π

6

)=

2

3

得sin(2α+

π

6

)=

1

3

，
即sin2αcos

π

6

+cos2αsin

π

6

=

1

3

sin2α=

2 3 -cos2α

3

①
将①代入sin²2α+cos²2α=1并整理得4cos²2α-12cos2α-23=0，
解得：cos2α=

12±24 6

72

=

1±2 6

6

，②
∵α∈(0，

π

8

)∴0＜2α＜

π

4

，∴cos2α＞0，故②中负值不合舍去，
∴cos2α=

1+2 6

6

．

点评：本题考查的知识要点：利用正弦型函数周期的关系式确定函数的解析式，函数关系式中角的恒等变换的应用．