Question

8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且A=$\frac{2π}{3}$，b+2c=8，则当△ABC的面积取得最大值时a的值为（　　）

• A． 2$\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{7}$
• C． $\sqrt{14}$
• D． 4

Answer 1

分析 b+2c=8，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsin\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c（8-2c），利用基本不等式的性质可得c．再利用余弦定理即可得出．

解答 解：∵b+2c=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsin\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c（8-2c）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c（4-c）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（\frac{c+4-c}{2}）^{2}$=2$\sqrt{3}$．当且仅当c=2时取等号．
∴b=4．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bc$cos\frac{2π}{3}$=b²+c²+bc=4²+2²+4×2=28，
∴a=2$\sqrt{7}$．
故选：B．

点评 本题考查了余弦定理的应用、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．