Question

20．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f（x）=2^x；②f（x）=$\frac{1}{x}$；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cosπx．
其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为①④．

Answer 1

分析 利用“1的饱和函数”的定义构造方程，判断方程是否有解，可得结论．

解答 解：①f（x）=2^x，D=R，则存在实数x₀，使得2^x₀+1=2^x₀+2，解得x₀=1，
因为此方程有实数解，
所以函数f（x）=2^x是“1的饱和函数”．
②f（x）=$\frac{1}{x}$，D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=$\frac{1}{x}$是“1的饱和函数”，
则存在非零实数x₀，使得$\frac{1}{{x}_{0}+1}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$+1，
即x₀²+x₀+1=0，
因为此方程无实数解，
所以函数f（x）=$\frac{1}{x}$不是“1的饱和函数”．
③f（x）=lg（x²+2），若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程无解．
即f（x）=lg（x²+2）不是“1的饱和函数”．
④f（x）=cosπx，存在x=$\frac{1}{3}$，使得f（x+1）=cos$\frac{4}{3}$π=-$\frac{1}{2}$=f（x）+f（1）=cos$\frac{1}{3}$π+cosπ=$\frac{1}{2}-1$，
即f（x）=cosπx是“1的饱和函数”．
故答案：①④

点评 本题考查“1的饱和函数”的判断，是基础题，解题时要注意函数的性质的合理运用．