Question

15．下列函数中，最小值为4的是（　　）

• A． y=$\frac{x}{2}$+$\frac{8}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• C． y=e^x+4e^-x
• D． y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$

Answer 1

分析 根据基本不等式的口诀：一正二定三相等，对各个选项逐一化简判断即可．

解答 解：A、当x＞0时，$\frac{x}{2}+\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{8}{x}}$=4，当且仅当$\frac{x}{2}=\frac{8}{x}$时取等号，
当x＜0时，$\frac{x}{2}+\frac{8}{x}$≤-4，当且仅当$\frac{x}{2}=\frac{8}{x}$时取等号，A错误；
B、当0＜x＜π时，sinx＞0，y=sinx+$\frac{4}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{4}{sinx}}$=4，
当且仅当sinx=$\frac{4}{sinx}$时取等号，此时sinx=2，由sinx≤1知，B不正确；
C、y=e^x+4e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•4{e}^{-x}}$=4，
当且仅当e^x=4e^-x，即e^x=2时取最小值4，C正确；
D、y=$\sqrt{{x}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2$\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+1}•\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}$=$2\sqrt{2}$，
当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+1}=\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$时取等号，函数的最小值是$2\sqrt{2}$，D错误．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，牢记“一正二定三相等”是解题的关键，考查了化简、变形能力．