Question

7．已知商场销售某种茶杯购买人数n与茶杯标价x元满足关系式：n=-x+b（b为常数）．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每个30元．现在这种茶杯的成本价是10/个，商场以高于成本价的相同价格（标价）出售． 问：
（1）求b的值；
（2）商场要获取最大利润，茶杯的标价应定为每件多少元？
（3）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么茶杯的标价为每个多少元？

Answer 1

分析 （1）由n=-x+b及无效价格为30/个，求出b；
（2）求出利润函数，由二次函数求最值；
（2）由题意得，（x-10）（-x+30）=100×75%，即可得出结论．

解答 解：（1）由n=-x+b及无效价格为30/个，得0=-30+b，∴b=30．       （2分）
（2）由（1），得n=-x+30．设茶杯利润为y元，则                           （3分）
y=（x-10）（-x+30）=-x²+40x-300=-（x-20）²+100，x∈（10，30]．          （5分）
当x=20时，y_max=100．                                                   （6分）
故商场要获取最大利润，茶杯的标价应定为每个20元．                           （7分）
（3）由题意得，（x-10）（-x+30）=100×75%，即x²-40x+375=0．          （10分）
解得x₁=15，x₂=25．                                                       （11分）
故商场要获取最大利润的75%，根据客观实际，每个标价应为15元．             （12分）

点评 本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及函数的性质应用，属于中档题．