Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是正方形A₁B₁C₁D₁和ADD₁A₁的中心，则EF和BD所成的角是

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：根据正方形的性质，可得四边形BB₁D₁D是平行四边形，从而BD∥B₁D₁，得到∠FED₁（或其补角）就是EF和BD所成的角．再通过计算可得△FED₁是等边三角形，由此可得EF和BD所成的角等于60°

解答： 解：连接A₁D、AD₁，则F恰好是它们的交点，同理E点是A₁C₁、B₁D₁的交点，
连接EF、AB₁
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B∥DD，且B₁B=DD
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形，可得BD∥B₁D₁
因此，∠FED₁（或其补角）就是EF和BD所成的角
设正方体的棱长为1，则△FED₁中，D₁E=D₁F=EF=

2

2

，
∴△FED₁是等边三角形，可得∠FED₁=60°
由此可得EF和BD所成的角等于60°
故答案为：60°

点评：本题在正方体中求异面直线所成角，着重考查了异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于中档题．