Question

19．给出下列命题：
（1）已知等比数列的前n项和为S_n，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比数列
（2）在△ABC中，若sinA=cosB，则△ABC的形状为直角三角形
（3）数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半
（4）已知f（x）=2x²+5x+3，g（x）=x²+4x+2，则f（x）＞g（x）
（5）已知0＜x＜$\frac{1}{3}$，则函数y=x（1-3x）的最大值是$\frac{1}{12}$．
则上述命题正确的有几个（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）可举例说明，令等比数列{a_n}为：1，-1，1，-1，…，S₂，S₄-S₂，S₆-S₄不能成等比数列，可判断（1）错误；
（2）在△ABC中，不妨令A=100°，B=10°，满足sinA=cosB，但此时的三角形不是直角三角形，可判断（2）错误；
（3）利用4，6，8，10分别为2，3，4，5的2倍，可知数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半，可判断（3）正确；
（4）作差f（x）-g（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0⇒f（x）＞g（x），可判断（4）正确；
（5）0＜x＜$\frac{1}{3}$，则函数y=x（1-3x）=-3（x-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{12}$，当x=$\frac{1}{6}$时，函数y=x（1-3x）取得最大值$\frac{1}{12}$，可判断（5）正确．

解答 解：对于（1），令等比数列{a_n}为：1，-1，1，-1，…，设该等比数列的前n项和为S_n，则S₂=0，S₄-S₂=0，S₆-S₄=0，显然S₂，S₄-S₂，S₆-S₄不能成等比数列，故（1）错误；
对于（2），在△ABC中，若sinA=cosB，则△ABC的形状为直角三角形，错误，如A=100°，B=10°，满足sinA=cosB，但此时的三角形不是直角三角形，故（2）错误；
对于（3），因为4，6，8，10分别为2，3，4，5的2倍，故前者的方差是后者方差的4倍，即前者的标准差是后者标准差的2倍，设数据2，3，4，5的标准差是s₁，则数据4，6，8，10的标准差s₂=2s₁，即数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半，故（3）正确；
对于（4），因为f（x）=2x²+5x+3，g（x）=x²+4x+2，f（x）-g（x）=x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，所以f（x）＞g（x），故（4）正确；
对于（5），因为0＜x＜$\frac{1}{3}$，所以y=x（1-3x）=-3x²+x=-3（x-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{12}$，当x=$\frac{1}{6}$时，函数y=x（1-3x）取得最大值$\frac{1}{12}$，故（5）正确；
综上所述，上述命题正确的有3个，
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列的性质及应用，考查二次函数的最值、解三角形、方差的应用，属于综合题．