Question

9．在△ABC中，已知AB=2，cosB=$\frac{1}{3}$
（Ⅰ）若AC=2$\sqrt{2}$，求sinC的值；
（Ⅱ）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理即可解得sinC的值．
（Ⅱ）在△ABC中，设BC=a，AC=b，由余弦定理可得：b²=a²+4-$\frac{4a}{3}$，①，由于cos∠ADB=-cos∠BDC，利用余弦定理可得$\frac{{b}^{2}}{3}$-a²=-6，②，联立即可得解BC的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）∵cosB=$\frac{1}{3}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，…2分
∵$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}$，且AC=2$\sqrt{2}$，AB=2，
∴sinC=$\frac{AB•sinB}{AC}$=$\frac{2}{3}$…4分
（Ⅱ）在△ABC中，设BC=a，AC=b，
∵AB=2，cosB=$\frac{1}{3}$，
∴由余弦定理可得：b²=a²+4-$\frac{4a}{3}$，①…6分
在△ABD和△BCD中，由余弦定理可得：
cos∠ADB=$\frac{\frac{4{b}^{2}}{9}+\frac{16}{3}-4}{2×\frac{2b}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$，cos∠BDC=$\frac{\frac{{b}^{2}}{9}+\frac{16}{3}-{a}^{2}}{2×\frac{b}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$，…7分
∵cos∠ADB=-cos∠BDC，
∴$\frac{\frac{4{b}^{2}}{9}+\frac{16}{3}-4}{2×\frac{2b}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$=-$\frac{\frac{{b}^{2}}{9}+\frac{16}{3}-{a}^{2}}{2×\frac{b}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$，解得：$\frac{{b}^{2}}{3}$-a²=-6，②…9分
∴由①②可得：a=3，b=3，即BC的值为3…10分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．