Question

11．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F作倾斜角为α的直线交椭圆x轴上方于一点P，其中α∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$），|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，则椭圆离心率的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知Q为PF的中点，OQ为△FF₁P的中位线，丨PF₁丨=2c，根据椭圆的定义丨PF丨=2a-2c，则cos（π-α）=$\frac{a-c}{2c}$，则e=$\frac{1}{1-2cosα}$，α∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，根据函数的单调性，即可求得椭圆离心率的最大值．

解答 解：设椭圆的左焦点F₁（-c，0），
由题意可知：|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=c，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$），则Q为PF的中点，
则OQ为△FF₁P的中位线，
由丨PF₁丨=2丨OQ丨=2c，由椭圆的定义可知：丨PF丨=2a-2c，
则△FF₁P等腰三角形，则cos（π-α）=$\frac{a-c}{2c}$，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，则e=$\frac{1}{1-2cosα}$，α∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
设cosα=t，t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]，
则f（t）=$\frac{1}{1-2t}$在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]单调递增，则当t=-$\frac{1}{2}$，f（t）取最大值，最大值为$\frac{1}{2}$，
∴椭圆离心率的最大值$\frac{1}{2}$，
故选B．

点评 本题考查的简单几何性质，考查椭圆的定义，函数的单调性与椭圆的应用，考查计算能力，属于中档题．