Question

13．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，x≤0}\\{{x}^{\frac{1}{2}}，x＞0}\end{array}\right.$，若x满足f（x）≥3，则log₂（$\frac{x+1}{x-1}$）的最大值为log₂$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 先求出满足f（x）≥3的x的范围，再求出t=$\frac{x+1}{x-1}$的范围，结合对数函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：当x≤0时，由2^-x-1≥3得：x≤-2，
当x＞0时，由${{x}^{\frac{1}{2}}}_{\;}$≥3得：x≥9，
故t=$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$∈[$\frac{1}{3}$，1）∪（1，$\frac{5}{4}$]，
故log₂（$\frac{x+1}{x-1}$）的最大值为log₂$\frac{5}{4}$，
故答案为：log₂$\frac{5}{4}$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，反比例型函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．