题目内容

2.登山运动是一项有益身心健康的活动,但它受山上气温的限制.某登山爱好者为了了解某山上气温y(℃)与相应山高x(km)之间的关系,随机统计了5次山上气温与相应山高,如下表:
气温y(℃)18161042
山高(km)2.633.44.24.8
(1)根据上表数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程:$\widehat{y}$=bx+$\widehat{a}$;
(2)若该名登山者携带物品足以应对山上-2.4℃的环境,试根据(1)中求出的线性回归方程预测,这名登山者最高可以攀登到多少千米处?
(参考公式:$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{i}({x}_{n}-\overline{x})^{2}}$,$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$)

分析 (1)根据回归系数公式计算回归系数,得到回归方程;
(2)把y=-2.4代入回归方程求出x的估计值.

解答 解:(1)$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×(2.6+3+3.4+4.2+4.8)=3.6,$\overline{y}$=$\frac{1}{5}×$(18+16+10+4+2)=10.
$\sum_{i=1}^{5}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})$=(-1)×8+(-0.6)×6+(-0.2)×0+0.6×(-6)+1.2×(-8)=-24.8.
$\sum_{i=1}^{5}({x}_{i}-\overline{x})^{2}$=(-1)2+(-0.6)2+(-0.2)2+0.62+1.22=3.2.
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{-24.8}{3.2}$=-7.75,$\stackrel{∧}{a}$=10-(-7.75)×3.6=37.9.
∴y关于x的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=-7.75x+37.9.
(2)当y=-2.4时,有-2.4=-7.75x+37.9,解得x=5.2.
所以这名登山者最高可以攀登到5.2千米处.

点评 本题考查了线性回归方程的求解及数值估计,属于基础题.

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