Question

3．已知直线l的方程为mx-y+1-m=0，圆C的方程为x²+（y-1）²=5．
（Ⅰ）证明：直线l与圆C相交；
（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定直线l恒过定点（1，1），定点（1，1）在圆内，即可证明直线l与圆C相交；
（Ⅱ）设AB中点M（x，y），当AB斜率存在时，由K_AB•K_CM=-1，可得$\frac{y-1}{x-1}•\frac{y-1}{x-0}$=-1，化简可得AB中点M的轨迹方程；当AB的斜率不存在时，点M的坐标也满足此轨迹方程，从而得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵直线l的方程为mx-y+1-m=0，
∴m（x-1）-y+1=0，
令x-1=0，-y+1=0，∴x=1，y=1，
∴直线l恒过定点（1，1），
∴1²+（1-1）²=1＜5，
∴定点（1，1）在圆内，
∴直线l与圆C相交；
（Ⅱ）设AB中点M（x，y），当AB的斜率存在时，由题意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
∴$\frac{y-1}{x-1}•\frac{y-1}{x-0}$=-1，化简可得（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，
即AB中点M的轨迹方程为（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
当AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时AB的中点M的坐标为（1，1），
也满足（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
综上可得，AB中点M的轨迹方程为（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，直线过定点问题，求点的轨迹方程，属于中档题．