Question

设函数f（x）=

4sinθ

3

x³+

3

cosθx²+sinθ，其中θ∈[0，

5π

12

]，则导数f′（

1

2

）的取值范围是（　　）

• A、[-2，2]
• B、[

  2

  ，

  3

  ]
• C、[

  3

  ，2]
• D、[

  2

  ，2]

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：先对函数f（x）=

4sinθ

3

x³+

3

cosθx²+sinθ进行求导，然后将x=

1

2

代入，再由两角和与差的公式进行化简，根据θ的范围和正弦函数的性质可求得最后答案．

解答： 解：∵f（x）=

4sinθ

3

x³+

3

cosθx²+sinθ，
∴f′（x）=4sinθx²+2

3

cosθx
∴f′（

1

2

）=sinθ+

3

cosθ=2sin（θ+

π

3

）
∵θ∈[0，

5π

12

]，∴θ+

π

3

∈[

π

3

，

3π

4

]
∴sin（θ+

π

3

）∈[

2

2

，1]
∴f′（

1

2

）∈[

2

，2]
故选：D．

点评：本题主要考查函数的求导运算和两角和与差的正弦公式的应用．考查基础知识的简单综合．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和基础题的练习．