Question

设y=log_a

x-3

x+3

的定义域为[s，t]，值域为[log_a（at-a），log_a（as-a）]．
（1）求证：s＞3；
（2）求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得

s-3

s+3

＞0，再由log_a

s-3

s+3

=log_a（as-a），求证s＞3；
（2）由题意可化为as²+（2a-1）s+3-3a=0有两个不相同的实根，从而求a的取值范围．

解答： 解：（1）证明：由题意，

s-3

s+3

＞0，
∴s＞3或s＜-3，
根据值域和定义域可知函数为减函数，
∴0＜a＜1，
∴log_a

s-3

s+3

=log_a（as-a），则

s-3

s+3

=as-a=a（s-1）＞0，
∴s＞1，
∴s＞3．
（2）．由

s-3

s+3

=as-a可化为as²+（2a-1）s+3-3a=0，
由已知可知，as²+（2a-1）s+3-3a=0的两根一个是s，另一个是，
∴（2a-1）²-4a（3-3a）＞0，
∴0＜a＜

2- 3

4

或

2+ 3

4

＜a＜1．

点评：本题考查了对数函数的图象及性质与其应用，属于中档题．