Question

4．点A、B、C、D在同一个球的球面上，$AB=BC=2，AC=2\sqrt{2}$，若四面体ABCD体积的最大值为$\frac{4}{3}$，则该球的表面积为9π．

Answer 1

分析 根据三棱锥的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为2．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为$\frac{1}{2}$×S_△ABC×DQ=$\frac{4}{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BQ=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2．，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA²=AQ²+OQ²，即R²=（$\sqrt{2}$）²+（2-R）²，∴R=$\frac{3}{2}$，
则这个球的表面积为：S=4π（$\frac{3}{2}$）²=9π；
故答案为：9π

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．属于中档题．