Question

12．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
（1）A₁B与B₁D₁所成的角；
（2）CC₁与BD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD、A₁D，则DBB₁D₁为平行四边形，∠A₁BD即为异面直线A₁B与B₁D₁所成的角，由此能求出A₁B与B₁D₁所成的角的大小．
（2）由B₁B∥CC₁，得BB₁与BD₁所成的角∠B₁BD₁就是CC₁和BD₁所成的角，由此能求出CC₁与BD₁所成角的正弦值．

解答 解：（1）如图，连接BD、A₁D，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴DD₁∥BB₁．
∴DBB₁D₁为平行四边形．
∴BD∥B₁D₁…（2分）
∴∠A₁BD即为异面直线A₁B与B₁D₁所成的角…（3分）
∵A₁B=BD=A₁D，
∴△A₁BD是正三角形…（4分）
∴∠A₁BD=60°．
∴A₁B与B₁D₁所成的角为60°．…（6分）
（2）∵B₁B∥CC₁，
则BB₁与BD₁所成的角∠B₁BD₁就是CC₁和BD₁所成的角…（7分）
在Rt△BB₁D₁中，
sin∠B₁BD₁=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，…（11分）
∴CC₁与BD₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）．

点评 本题考查异面直线所成角的大小及正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．