题目内容
如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A．考点：直线与平面垂直的性质
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：连结A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连结AN、DN，则DN∥A1B．求证线线垂直，往往寻求线面垂直，只要证得B1C⊥平面AND即可．
解答：
证明：如图所示，连结A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．
取BC的中点N，连结AN、DN，则DN∥A1B．
又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN．
又△ABC是正三角形，
∴AN⊥BC．
又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AN?平面ABC，
∴AN⊥平面BB1C1C．
又B1C?平面BB1C1C，∴B1C⊥AN．
又AN?平面AND，DN?平面AND，AN∩DN=N，
∴B1C⊥平面AND．
又C1A?平面AND，∴B1C⊥AC1．
证明：如图所示，连结A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连结AN、DN，则DN∥A1B．
又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN．
又△ABC是正三角形，
∴AN⊥BC．
又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AN?平面ABC，
∴AN⊥平面BB1C1C．
又B1C?平面BB1C1C，∴B1C⊥AN．
又AN?平面AND，DN?平面AND，AN∩DN=N，
∴B1C⊥平面AND．
又C1A?平面AND，∴B1C⊥AC1．
点评：本题主要考查了线面垂直的性质和判定，同时考查了空间想象能力、运算求解的能力、以及转化与划归的思想，属于中档题．
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