题目内容
已知椭圆C：
+y2=1，圆O：x2+y2=4上一点A（0，2）．
（Ⅰ）过点A作两条直线l1、l2都与椭圆C相切，求直线l1、l2的方程并判断其位置关系；
（Ⅱ）有同学经过探究后认为：过圆O上任间一点P作椭圆C的两条切线l1、l2，则直线l1、l2始终相互垂直，请问这位同学的观点正确吗？证明你的结论．
| x2 |
| 3 |
（Ⅰ）过点A作两条直线l1、l2都与椭圆C相切，求直线l1、l2的方程并判断其位置关系；
（Ⅱ）有同学经过探究后认为：过圆O上任间一点P作椭圆C的两条切线l1、l2，则直线l1、l2始终相互垂直，请问这位同学的观点正确吗？证明你的结论．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）设切线方程为y=kx+2，代入椭圆方程并化简，得：（1+3k2）x2+12kx+9=0，由此利用△=0能求出直线l1、l2的方程并判断其位置关系．
（Ⅱ）这位同学的观点正确，即直线l1、l2始终相互垂直．当过点P与椭圆C：
+y2=1相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为x=±
，直线y=±1恰好为过点P与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；当过点P（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y-n=k（x-m），由
，得（1+3k2）x2+6k（n-mk）x+3（n-mk）2-3=0，由此利用根的判别式能推导出直线l1、l2始终相互垂直．
（Ⅱ）这位同学的观点正确，即直线l1、l2始终相互垂直．当过点P与椭圆C：
| x2 |
| 3 |
| 3 |
|
解答：
解：（Ⅰ）设切线方程为y=kx+2，代入椭圆方程并化简，
得：（1+3k2）x2+12kx+9=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=144k2-36（1+3k2）=0，
解得k1=1，k2=-1，
∴两切线方程分别为y=x+2，或y=-x+2，
∵k1k2=-1，∴l1⊥l2．
（Ⅱ）这位同学的观点正确，即直线l1、l2始终相互垂直．
证明如下：
（i）当过点P与椭圆C：
+y2=1相切的一条切线的斜率不存在时，
此时切线方程为x=±
，
∵点P在圆O：x2+y2=4上，则P（±
，±1），
∴直线y=±1恰好为过点P与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直．
（ii）当过点P（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，
设切线方程为y-n=k（x-m），
由
，
得（1+3k2）x2+6k（n-mk）x+3（n-mk）2-3=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=36k2（n-mk）2-4（1+3k2）[3（n-mk）2-3]=0，
整理，得（m2-3）k2-2mnk+（n2-1）=0，
∴k1k2=
，
∵P（m，n）在圆x2+y2=4上，∴m2+n2=4，
∴m2-3=1-n2，
∴k1k2=-1，∴两直线互相垂直．
综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．
得：（1+3k2）x2+12kx+9=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=144k2-36（1+3k2）=0，
解得k1=1，k2=-1，
∴两切线方程分别为y=x+2，或y=-x+2，
∵k1k2=-1，∴l1⊥l2．
（Ⅱ）这位同学的观点正确，即直线l1、l2始终相互垂直．
证明如下：
（i）当过点P与椭圆C：
| x2 |
| 3 |
此时切线方程为x=±
| 3 |
∵点P在圆O：x2+y2=4上，则P（±
| 3 |
∴直线y=±1恰好为过点P与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直．
（ii）当过点P（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，
设切线方程为y-n=k（x-m），
由
|
得（1+3k2）x2+6k（n-mk）x+3（n-mk）2-3=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=36k2（n-mk）2-4（1+3k2）[3（n-mk）2-3]=0，
整理，得（m2-3）k2-2mnk+（n2-1）=0，
∴k1k2=
| n2-1 |
| m2-3 |
∵P（m，n）在圆x2+y2=4上，∴m2+n2=4，
∴m2-3=1-n2，
∴k1k2=-1，∴两直线互相垂直．
综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．
点评：本题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系的判断，考查两直线始终垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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