Question

已知在△ABC中，tanA-tanB-

3

tanAtanB=

3

，sin

A+B

2

cos

π-C

2

=

1

4

，若C为锐角，试求出∠A、∠B、∠C．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：先由两角差的正切公式，得到tan（A-B），再由A，B的范围，得到A-B的值，再由条件运用二倍角的正弦公式，得到sin（A+B），再由范围得到A+B的值，分四种情况求出A，B，注意三角形的内角的范围，从而得到A，B，C．

解答： 解：由tanA-tanB-

3

tanAtanB=

3

⇒tan(A-B)=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3

，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π，
∴A-B=

π

3

或A-B=-

2π

3

由sin

A+B

2

cos

π-C

2

=

1

4

⇒sin

A+B

2

cos

A+B

2

=

1

4

⇒sin(A+B)=

1

2

，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，0＜A+B＜π
∴A+B=

π

6

或A+B=

5π

6

（1）若A-B=-

2π

3

，A+B=

π

6

，则A=-

π

4

，B=

5π

12

，舍去；
（2）若A-B=-

2π

3

，A+B=

5π

6

，则A=

π

12

，B=

3π

4

；
（3）若A-B=

π

3

，A+B=

π

6

，则A=

π

4

，B=-

π

12

，舍去；
（4）若A-B=

π

3

，A+B=

5π

6

，则A=

7π

12

，B=

π

4

．
综上：A=

7π

12

，B=

π

4

，C=

π

6

或A=

π

12

，B=

3π

4

，C=

π

6

点评：本题考查两角差的正切函数及二倍角的正弦公式、诱导公式及运用，考查分情况讨论的思想方法，考查运算能力和判断能力，属于中档题．