Question

在数列{a_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）设数列{c_n}满足c_n=（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1，且{c_n}的前n项和S_n，若S_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用对数的运算性质、等差数列的定义即可证明；
（III）对n分奇数与偶数讨论，利用等差数列的前n项和公式、分离参数、基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（I）∵

an+1

an

=

1

4

，
∴数列{a_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列，
∴an=(

1

4

)n(n∈N*)．
（II）∵bn=3log

1

4

an-2
∴bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2．
∴b₁=1，公差d=3
∴数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=3的等差数列．
（III）由（1）知，an=(

1

4

)n，bn=3n-2，
当n为偶数时，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-6(b2+b4+…+bn)=-6

(4+3n-2)• n 2

2

=-

3

2

n(3n+2)≥tn2，即t≤-

3

2

(3+

2

n

)对n取任意正偶数都成立．
∴t≤-6．
当n为奇数时，偶数时，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=-

3

2

(n-1)[3(n-1)+2]+(3n-2)(3n+1)=

9

2

n2+3n-

7

2

＞0对t≤-6时Sn≥tn2恒成立，
综上：t≤-6．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．