Question

2．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，DC=2$\sqrt{3}$，AA₁=$\sqrt{3}$，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E，
（Ⅰ）求证：BD⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-C₁的大小．

Answer 1

分析 （I）由已知得AC是A₁C在平面ABCD上的射影，由此利用BD⊥AC，能证明BD⊥A₁C．
（II）连结A₁E，C₁E，A₁C₁，推导出BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，则∠A₁EC₁为二面角A₁-BD-C₁的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-C₁的大小．

解答 证明：（I）在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁A⊥底面ABCD，
∴AC是A₁C在平面ABCD上的射影，…（2分）
∵BD⊥AC，∴BD⊥A₁C． …（4分）
（II）连结A₁E，C₁E，A₁C₁，
与（I）同理可证BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，…（6分）
∴∠A₁EC₁为二面角A₁-BD-C₁的平面角．…（7分）
∵AD⊥DC，∴∠A₁D₁C₁=∠ADC=90°，…（8分）
又A₁D₁=AD=2，D₁C₁=DC=2$\sqrt{3}$，AA₁=$\sqrt{3}$，且AC⊥BD，…（9分）
∴A₁C₁=4，AE=1，EC=4，∴A₁E=2，C₁E=2$\sqrt{3}$，…（11分）
在△A₁EC₁中，A₁C₁²=A₁E²+C₁E²，∴∠A₁EC₁=90°，…（12分）
即二面角A₁-BD-C₁的大小为90°．…（13分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查运用意识，是中档题．