Question

已知函数f（x）=mx-

m-1+2e

x

-lnx，g（x）=

1

x

+lnx．
（1）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若当x∈[1，e]时，至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出m=0的函数f（x）的导数，令导数大于0，得到增区间，令导数小于0，得到减区间，注意函数的定义域，从而得到极值；
（2）当x=1时，f（1）＜g（1）；当x∈（1，e]时，由f（x）＞g（x），得m＞

2e+2xlnx

x2-1

，构造函数h（x）=

2e+2xlnx

x2-1

，求出导数，判断单调性，确定函数的最小值，即可求得m的取值范围．

解答： 解：（1）当m=0时，f（x）=

1-2e

x

-lnx，
f′（x）=

2e-1

x2

-

1

x

=

(2e-1)-x

x2

（x＞0），
当0＜x＜2e-1时，f′（x）＞0，当x=2e-1时，f′（x）=0，当x＞2e-1时，f′（x）＜0，
则函数f（x）的单调递增区间是（0，2e-1），单调递减区间是（2e-1，+∞），
故f（x）的极大值为f（2e-1）=-1-ln（2e-1），无极小值；
（2）当x=1时，f（1）=m-（m-1+2e）=1-2e，g（1）=1，则f（1）＜g（1），
当x∈（1，e]时，由f（x）＞g（x），分离参数得，m＞

2e+2xlnx

x2-1

，
令h（x）=

2e+2xlnx

x2-1

，则h′（x）=

(-2x2-2)lnx+(2x2-4ex-2)

(x2-1)2

，
由于x∈（1，e]，则0＜lnx≤1，即有（-2x²-2）lnx＜0，
2x²-4ex-2=2（x-e）²-2-2e²＜0，
则h′（x）＜0，即有h（x）在（1，e]上递减，
即有h（x）_min=h（e）=

4e

e2-1

，
综上，要使当x∈[1，e]时，至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
只需m＞

4e

e2-1

．

点评：本题考查导数的求法及综合应用、不等式中在存在解的状况下的参数范围的求法，考查学生运算能力、思维能力和解决问题的能力，属于中档题．