Question

设集合M={x|x=（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅），a_i=0，1，i=1，2，3，4，5}．若a，b∈M，定义其“距离”d（a，b）=

5

i=1

|a_i-b_i|；给出以下命题：
（1）M中所有元素的个数为5！；
（2）若

5

i=1

a_i²=0，b₁b₂b₃b₄b₅=1，则d（a，b）=5；
（3）若a，b，c∈M，则d（a，b）+d（b，c）≥d（c，a）；
（4）设W⊆M且W中任意两个元素之间的距离大于2，则|W|的最大值为4（|W|表示集合W的元素的个数）
以下命题中正确命题的序号是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,新定义,集合

分析：运用排列组合的知识，由于a_i=0，1，均有两种可能，则由分步相乘原理，即可判断（1）；
分别求出a₁=a₂=…=a₅=0，b₁=b₂=…=b₅=1，再由距离定义，即可得到（2）；
由距离的定义，结合绝对值不等式的性质，即可判断（3）；
通过讨论举例，再由距离定义，结合分析，即可判断（4）．

解答： 解：对于（1），由于a_i=0，1，则M中所有元素的个数为2⁵=32，则（1）错；
对于（2），若

5

i=1

a_i²=0，b₁b₂b₃b₄b₅=1，则为a₁=a₂=…=a₅=0，b₁=b₂=…=b₅=1，
则d（a，b）=5，则（2）对；
对于（3），若a，b，c∈M，则d（a，b）+d（b，c）=

5

i=1

|a_i-b_i|+

5

i=1

|b_i-c_i|
≥

5

i=1

|（a_i-b_i）+（b_i-c_i）|=

5

i=1

|a_i-c_i|=d（c，a），则（3）对；
对于（4），设W⊆M且W中任意两个元素之间的距离大于2，则为3，4，5，
若为两个元素，比如：W={（0，0，0，0，0），（1，1，1，0，0）}，成立，
若为三个元素，比如W={（0，0，0，0，0），（1，1，1，0，0），（1，0，0，1，1）}成立，
若为四个元素，比如W={（0，0，0，0，0），（1，1，1，0，0），（1，0，0，1，1），（0，1，1，1，1）}，成立，
若为五个元素，由于最大距离为5，若出现距离为5，则必有元素（1，1，1，1，1），不成立，若出现距离4，
则必有4个1和1个0的元素，必出现距离为1或2的情况，若出现距离3，必出现距离为1或2的情况，
故不成立．则|W|的最大值为4，则（4）对．
故答案为：（2）（3）（4）．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查集合的子集个数和绝对值不等式的性质，考查分析推理能力，属于中档题和易错题．